<T->
          Projeto Radix
          Matemtica 8 ano
 
          Jackson Ribeiro

          Impresso Braille em 
          11 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, Editora 
          Scipione S.A., So 
          Paulo, 2011. 
          
          Sexta Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350/368
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<P>
          Ttulo original: Projeto 
          Radix -- Matemtica -- 8 ano
          Copyright (C) 
          Jackson Ribeiro

          ISBN 978-85-2627303-0

          Gerncia editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Carlos Augusto Rodrigues Lima

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar intermedirio ala "B" Freguesia do 
          CEP 02909-900 -- 
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          E-mail: ~,scipione@scipione.~ 
          com.br~,
<P>
                                I
<F->
Sumrio

Sexta Parte

Mdulo 6

Captulo 10 -- Equaes e 
  inequaes 
Para comear ::::::::::::::: 563 
Equaes do 1 grau com  
  uma incgnita ::::::::::::: 565 
Equaes fracionrias :::::: 574
Equaes do 1 grau com 
  duas incgnitas ::::::::::: 580 
Sistemas de equaes do 1 
  grau com duas 
  incgnitas :::::::::::::::: 583 
Estudando mais sobre
  sistemas de equaes :::::: 589 
Inequaes ::::::::::::::::: 609 
Resolvendo inequaes do 
  1 grau com uma 
  incgnita ::::::::::::::::: 617 
Complementando... :::::::::: 631 
Algo a mais :::::::::::::::: 640 
  Problemas matemticos 
Atividades de reviso :::::: 642 
<P>
Lendo textos ::::::::::::::: 656 
  Equvoco de meio sculo 
  nos avies 
<F+>
<168>
<tp. radix mat. 8>
<T+563>
Mdulo 6

Captulo 10 -- Equaes e
  inequaes

Para comear
 
  Quando compramos um produto, podemos fazer a escolha pensando 
naquilo que consideramos ser mais vantajoso. Em situaes como 
essas,  comum escolhermos rapidamente o produto, seja pelo menor 
preo, pela qualidade ou pelo rendimento. 
  No entanto, em alguns casos, a escolha exige mais cautela, e as 
caractersticas das opes devem ser colocadas na ponta do lpis, 
para que, depois, o consumidor no se arrependa. Ao abastecer um 
carro bicombustvel, por exemplo, podemos optar pelo lcool, pela 
gasolina ou pela mistura desses dois combustveis. Se considerarmos 
apenas o rendimento por litro de combustvel, a gasolina  mais 
vantajosa, uma vez que um carro percorre mais quilmetros do que 
se estivesse abastecido com a mesma quantidade de lcool. Se o 
consumidor, alm do rendimento, considerar o preo do combustvel, 
ento abastecer somente com lcool ou misturar os dois tipos de 
combustveis podem ser as melhores opes. 

<R+>
1. Quais fatores voc leva em considerao ao comprar um produto? 
 2. No caso do abastecimento de um carro bicombustvel, qual das 
formas de abastecimento citadas voc acha mais vantajosa? Por qu? 
 3. De que forma voc acha que a matemtica pode ajudar nessas 
escolhas? Converse com seus colegas e com o professor sobre 
essa questo e escreva as concluses a que vocs chegarem. 
<R->

<169>
<P> 
Equaes do 1 grau com uma 
  incgnita 

  Veja o que Tiago est perguntando a Camila. 

<R+>
_`[{o menino diz: "O dobro da minha idade mais 10 anos  igual a 38 anos. Qual  a minha idade?" A menina diz: "14 anos"_`]
<R->

  Para verificar se a resposta de Camila est correta, podemos escrever uma equao e resolv-la. 
  Vamos chamar de *x* o nmero correspondente  idade de Tiago e escrever a seguinte equao. 

2x+10=38
  2x+10: 1 membro
  38: 2 membro

  Vamos resolver essa equao, ou seja, obter o valor desconhecido da incgnita. 
<P>
<F->
<R+>
2x+10=38
Subtramos 10 unidades em cada membro da equao.
2x+10-10=38-10
Dividimos os dois membros da equao por 2 para que em um dos membros fique apenas *x*.
2x2=282
x=14
<R->
<F+>

  Assim, x=14, ou seja, Tiago tem 14 anos. 
  Agora, observe outra situao. 
  Os pratos da balana representada a seguir esto em equilbrio. Podemos obter a massa de cada lata de leite em p representada na balana por meio da equao a seguir, sabendo que todas tm a mesma massa: 

<R+>
_`[{balana de dois pratos em equilbrio adaptada_`]

Prato da esquerda: seis latas de leite em p e um cubo pesando 500 g; prato da direita: uma 
<P>
  lata de leite em p e cinco cubos pesando 500 g cada um.
<R->

<R+>
Ateno: Como a balana est em equilbrio, a massa que est em um prato  igual  massa que est no outro.
<R->

  Utilizamos *x* para representar a massa de uma lata de leite em p.

<F+>
6x+500=x+5.500
 6x+500=x+2.500
6x+500-500=x+2.500-500
 6x=x+2.000
 6x-x=x+2.000-x
 5x=2.000
 5x5=2.0005
 x=400
<F->

  Portanto, uma lata de leite em p tem 400 g. 

<170>
  Agora, veja como podemos simplificar e resolver a equao 4`(x-5`)+x-6=16-2x. 

<R+>
Eliminamos os parnteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  subtrao. 
<R->

<F->
4x-5+x-6=16-2x
4x-20+x-6=16-2x
4x+x=5x
-20-6=-26
5x-26=16-2x
5x-26+2x=16-2x+2x
7x-26+26=16+26
7x=42
7x7=427
x=6
<F+>

Atividades 

<R+>
1. Jlia comprou um vestido e uma saia por R$149,95. Sabendo que a saia custou R$60,00, qual das equaes a seguir permite obter o preo do vestido?  
<R->
 a) x+149,95=60 
 b) x-60=149,95 
 c) x+60=149,95
 d) x=149,95+60 
<P>
<R+>
 Agora, resolva a equao e obtenha o preo do vestido. 
<R->

<R+>
2. Observe o que Bruna est dizendo. 

_`[{a menina diz: "Pensei em um nmero e multipliquei-o por 3. Ao resultado, somei 12 e obtive 36."_`]
<R->

<R+>
 Qual das equaes a seguir permite obter o nmero que Bruna pensou? 
 a) 12-3x=36 
 b) 36+12=3x
 c) 3x-12=36 
 d) 3x+12=36 
 Agora, determine o nmero que Bruna pensou. 
<R->

<R+>
3. Resolva as seguintes equaes no caderno. 
<R->
 a) 7x=49 
 b) x+10=18 
 c) 2x-7=15 
 d) 3x+2=-1 
 e) 6x+12=54 
 f) 5x-14=31 
 g) 4x+28=-24 
 h) 9x-13=95 

<R+>
4. Associe cada uma das situaes a uma equao. 
 Para isso, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes. 
 a) Letcia pensou em um nmero que, multiplicado por 5 e somado a 17, resulta 82. Em que nmero Letcia pensou? 
 b) O triplo da idade de Gustavo  igual a 78 anos. Qual  a idade de Gustavo?  
 c) O dobro da quantia em reais que eu tenho menos R$63,00  igual a R$153,00. Quantos reais eu tenho?  
<R->

I) 3x=78
 II) 5x+17=82
 III) 2x-63=153

<R+>
Agora, resolva as equaes e determine a resposta de cada problema.
 5. Na casa de Geraldo tem um jardim de forma retangular com 38 m de permetro. O comprimento desse jardim  5 m maior que sua largura. 
<R->

<F->
   !::::::::::::
   l            _
 x l            _
   l            _
   h::::::::::::j
        x+5
<F+>

<R+>
De acordo com essas informaes, resolva as questes a seguir em seu caderno. 
 a) Escreva uma equao que permite calcular quantos metros tm a largura e o comprimento desse jardim. 
 b) Calcule a rea desse jardim. 
<R->

<171>
<R+>
6. No caderno, escreva as equaes correspondentes a cada situao e resolva-as. 
<R->
<R+>
 a) Paguei a conta da lanchonete com R$50,00 e recebi de troco R$22,00. Qual foi o valor da conta? 
 b) O dobro da quantia que recebi, adicionado a R$69,00 resulta em R$195,00. Qual foi a quantia que recebi? 
 c) O triplo da idade de Andr mais 18 anos  igual a 81 anos. Qual  a idade de Andr? 
 d) Pensei em um nmero e multipliquei-o por 6. Ao resultado somei 32 e obtive 116. Em que nmero pensei? 
<R->

<R+>
7. Escreva uma equao para obter a soluo da questo a seguir. 
 A sequoia  considerada a espcie de rvore mais alta do mundo. Se multiplicarmos a altura que uma sequoia pode atingir por 2 e adicionarmos 96 m, obtemos 330 m. 
Qual  a altura que essa rvore pode atingir? 
<R->

<R+>
8. Escreva no caderno uma equao para determinar a massa de 
<P>
  cada produto que est na balana. 

_`[{balana em equilbrio adaptada_`]

a) Prato da esquerda: trs vidros de maionese e um cubo pesando 250 g; prato da direita: um vidro de maionese e cinco cubos pesando 250 g cada um.
 b) Prato da esquerda: cinco potes de margarina e dois cubos pesando 750 g cada um; prato da direita: um pote de margarina e trs cubos pesando 750 g cada um.

  Resolva as equaes e obtenha a massa de um pote de maionese e de um pote de margarina. 
<R->

<R+>
9. Simplifique e resolva as equaes a seguir. 
 a) 3m+4+8=2+m
 b) 6x+14+3x=2x+158-x
 c) 20x+19-5x=7x+31+2x
 d) 27z-15-3z=18z+185-2z
 e) 7m-14+20=5m+3-15
 f) 11x+2-410=22x-4+89

10. Um automvel bicombustvel foi abastecido com 60 L de uma mistura de lcool e gasolina. Sabendo que a quantidade de lcool no tanque foi 
o dobro da quantidade de gasolina mais 6 L, quantos litros de cada combustvel foram colocados no tanque? 
<R->

<172>
Equaes fracionrias 

  Chamamos de equaes fracionrias as equaes que possuem fraes com incgnitas em seu denominador. 
  So exemplos de equaes fracionrias: 

_`[{quadros adaptados_`]

A: 5x=20?x+3*
 B: 2?x-2*+3=x?x-2*

  Veja como resolver a equao fracionria do quadro A. 
<R+>
 Inicialmente, determinamos o mmc`(x, x+3`) que  x`(x+3`). Depois, multiplicamos cada membro da equao pelo mmc para eliminar os denominadores. 
<F->
5x=20?x+3*
xx+35x=20?x+3*xx+3
x+35=20xx+3
5x+3=20x

 Em seguida, resolvemos a equao e obtemos o valor de *x*. 
<R->
5x+3=20x
5x+15=20x
5x+15-15=20x-15
5x=20x=20x-15-20x
-15x=-15

  Dividimos os dois membros da equao por -15 para que em um dos membros fique apenas *x*.

-15x-15=-15-15
x=1

<R+>
 Por ltimo, verificamos se o valor obtido para a incgnita *x* no anula algum dos denominadores da equao: 
<R->

<F->
5x=20?x+3*
51=20?1+3*
51=204
5=5
<F+>

  Nesse caso, o valor obtido para a incgnita *x* no anulou nenhum dos denominadores da frao. Desse modo, x=1  a soluo dessa equao fracionria.

<173>
  Agora, veja a resoluo da equao fracionria do quadro B. 

2?x-2*+3=x?x-2*

  Multiplicamos os dois membros da equao por x-2 para eliminar os denominadores.
 
 2?x-2*+3=x?x-2*
 x-2'2?x-2*+3x-2=
  =x?x-2*'x-2
 2+3x-2=x
 2+3x-6=x
 3x-4=x
 3x-4+4=x+4
 3x=x+4
 3x-x=x+4-x
 2x=4
<R+>
 Dividimos os dois membros por 2 para que em um dos membros fique apenas *x*.
<R->
 2x2=42
 x=2
<F+>
<R->

  Como vimos anteriormente, ao resolver uma equao fracionria,  preciso verificar se o valor obtido para a incgnita no anula algum dos denominadores da equao. Quando isso acontece, a equao no tem soluo. 
  Observe o que acontece na equao anterior se x=2. 

2?2-2*+3=2?2-2* :>
 20+3=20
<P>
  Note que x=2 no pode ser soluo dessa equao, pois esse valor anula o denominador e no existe diviso por zero. 
  Sendo assim, essa equao no tem soluo. 

Atividades 

<R+>
11. Nas equaes a seguir, determine o valor representado por *x*, quando possvel. 
 a) 6x-12x=35
 b) 3x+63x=15
 c) 4?x-4*+5=x?x-4*
 d) 9x?x-3*-6?x+3*=?9x2+ 
  +102*?x-3x+3*
 e) 16x-5?x-2*=9x
 f) 412x+5x=12
 g) 5?x+4*-2?x-4*=x?x2-
  -16*
 h) 3x?x-2*-1?x+2*=?3x2+ 
  +12*?x-2x+2*

12. Diariamente eram produzidas 300 peas em uma indstria por certa quantidade de operrios. A produo diria dessa indstria passou para 420 peas 
depois da contratao de mais 30 operrios. Quantos operrios trabalhavam nessa indstria antes da contratao dos novos operrios? E depois da contratao? 
<R->

<R+>
Ateno: Chame de *x* a quantidade de operrios e de x+30 a quantidade de operrios depois da contratao.
<R->

<R+>
13. Um automvel, a certa velocidade mdia, percorre 170 km em *x* horas. Para percorrer 255 km, mantendo a mesma velocidade, esse automvel gasta uma hora a mais. Quanto tempo esse automvel leva para percorrer os 170 km? 

Desafio 
 14. Marta pagou R$150,00 na compra de *x* cadernos e R$225,00 na compra de x-2 livros. Todos os cadernos que Marta comprou tm o mesmo preo e todos os livros tambm tm o mesmo preo. Sabendo que cada livro custa o dobro do preo de um caderno, calcule quantos cadernos e quantos livros Marta comprou. 
<R->

<174>
Equaes do 1 grau com duas 
  incgnitas 

  Veja o que Sabrina est perguntando a Lucas. 

<R+>
_`[{a menina diz: "A soma de dois nmeros  7. Quais so esses nmeros?" O menino pensa: "..."_`]
<R->

  Vamos representar um dos nmeros por *x*, o outro, por *y* e escrever uma equao para representar o que Sabrina est perguntando. 

x+y=7 
<P>
  Note que essa equao tem duas incgnitas, *x* e *y*. 
  Observe a seguir alguns dos possveis valores de *x* e *y*.

<F->
x  l y  l x+y
:::r::::r::::::::::
0 l 7 l 0+7=7
1 l 6 l 1+6=7
2 l 5 l 2+5=7
3 l 4 l 3+4=7
4 l 3 l 4+3=7
5 l 2 l 5+2=7
6 l 1 l 6+1=7
7 l 0 l 7+0=7
<F+>

  Os valores de *x* e *y* em cada linha so alguns dos possveis valores que satisfazem a equao. 

Atividades 

<R+>
15. Quais dos itens a seguir apresentam equaes com duas incgnitas?  
<R->
 a) 5x+8=18 
 b) 12x=8y+56 
 c) 6x-4=8 
 d) 7y+5x=31
 e) 4x+9=3x-5 
 f) 8a+3b=30 
 g) 2z+15z=17 
 i) 6m-51=9r 
 j) 10c+6d+2d=60 
 k) 3s-49=-4s
 l) 7j+8j=-9l-87  

<R+>
16. No caderno, escreva uma equao para representar cada uma das situaes a seguir. 

Ateno: Utilize as letras *x* e *y* para escrever cada uma das equaes. 

 a) O dobro da minha idade mais o triplo da idade de meu filho  igual a 84 anos. 
 b) Paguei R$6,50 por dois salgados e um suco. 
 c) A diferena entre o preo de um par de tnis e de um par de sapatos  R$48,00.
 d) Comprei 3 kg de tomate e 4 kg de batata por R$16,53.  
<R->
<P>
<175>
Sistemas de equaes do 1 grau 
  com duas incgnitas 

  No ltimo final de semana foi realizada uma partida entre os times do 8 ano A e 8 ano B pelo campeonato de futebol da escola. 
  Durante a partida foram marcados 8 gols. A diferena entre a quantidade de gols marcados pelo time do 8 ano A e a de gols marcados pelo time do 8 ano B foi de 2 gols. 
  De acordo com essas informaes, quantos gols marcou cada um dos times nessa partida? 
  Para resolver essa questo, podemos escrever duas equaes, uma para representar o total de gols marcados durante a partida e outra para representar a diferena entre a quantidade de gols marcados pelos dois times. 
  Vamos chamar de *x* a quantidade de gols marcados pelo 8 ano. 
<P>
A e de *y* a quantidade de gols marcados pelo 8 ano B. 

total de gols :> x+y=8
<R+>
 diferena entre as quantidades de gols marcados pelos times :> x-y=2 
<R->

  Note que, para resolver essa questo, temos duas equaes com duas incgnitas em cada uma. 
  Nesse caso, temos um sistema de equaes no qual os valores de *x* e *y* devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equaes. 

x+y=8 e x-y=2

  Para resolver esse sistema, podemos atribuir valores para *x* e *y* e verificar quais satisfazem as duas equaes ao mesmo tempo. 

<R+>
_`[{tabela adaptada com quatro colunas; contedo a seguir_`]

1 coluna: quantidade de gols do 8 ano A.
 2 coluna: quantidade de gols do 8 ano B.
 3 coluna: total de gols.
 4 coluna: difena de gols.

<F->
1 l 2 l 3      l 4
::::r:::::r::::::::::r::::::::::
x   l y   l x+y      l x-y
7  l 1  l 7+1=8 l 7-1=6
6  l 2  l 6+2=8 l 6-2=4
5  l 3  l 5+3=8 l 5-3=2
<F+>
<R->

  Note que x=5 e y=3 so os nicos valores que satisfazem as duas equaes.
 x+y=8 :> 5+3=8
 x-y=2 :> 5-3=2

  Assim, o time do 8 ano A marcou 5 gols e o time do 8 ano B marcou 3 gols. 

<176>
Atividades 

<R+>
17. Resolva os seguintes sistemas. 
<R->
 a) x+y=10; x-y=2
 b) x+y=14; x-y=4
 c) x+y=21; x-y=1
 d) x+y=12; x-y=12
 e) x+1=y; x+y=15
 f) x-6=y; x+y=18

<R+>
18. Para cada frase escreva uma equao utilizando *x* para representar o valor em reais que Daniel possui e *y* o valor em reais que Rita possui. Em seguida, escreva um sistema e resolva-o determinando a quantia que cada um possui. 
<R->

<R+>
Daniel e Rita tm juntos R$20,00.
 Daniel tem R$2,00 a menos que Rita.
<R->

<R+>
19. Em cada quadro  apresentada a mesma balana em equilbrio em momentos diferentes. 
 Escreva no caderno uma equao para cada pesagem e escreva um sistema de equaes correspondente a cada quadro. Depois, 
<P>
  determine os valores de *x* e *y* por tentativa. 
<R->

<R+>
_`[{quadros adaptados_`]

A: 
 1 Situao: Prato da esquerda: dois cubos, um pesando *x* e o outro *y*; prato da direita: dois pesos com 2 kg cada um, um peso de 3 kg e um peso de 5 kg.
 2 Situao: Prato da esquerda: um cubo pesando *x*; prato da direita: um peso de 3 kg, um peso de 5 kg e um cubo pesando *y*.

B: 
 1 Situao: Prato da esquerda: um cubo pesando *x* e um peso de 3 kg; prato da direita: um cubo pesando *y*.
 2 Situao: Prato da esquerda: dois cubos, um pesando *x* e o outro *y*; prato da direita: dois pesos com 3 kg cada um, um peso de 5 kg e dois pesos de 2 kg.

C:
 1 Situao: Prato da esquerda: um cubo pesando *y*, um peso com 2 kg e um peso com 5 kg; prato da direita: um peso com 1 kg e um cubo pesando 1 kg.
 2 Situao: Prato da esquerda: dois cubos, um pesando *x* e o outro *y*; prato da direita: um peso de 3 kg, dois pesos de 5 kg cada um e um de 2 kg.
<R->

<R+>
20. Em uma sala de aula estudam 42 alunos. Sabendo que nessa sala h mais meninas do que meninos e que a diferena entre o nmero de meninas e meninos  4, quantas meninas e quantos meninos h nessa sala de aula? 
<R->

<177>
<P>
Estudando mais sobre sistemas de 
  equaes 

  Na pgina 584 foi apresentada uma maneira de resolver sistema de equaes por tentativa. Nesse caso, foram atribudos os possveis valores para as incgnitas a fim de obter a soluo do sistema. 
  A partir de agora, vamos estudar outros mtodos para obter a soluo de um sistema de equaes. 

Mtodo da substituio 

  Raul gastou R$220,00 comprando duas calas e uma camisa. 
  Quantos reais custou cada uma dessas peas de roupas, sabendo que as calas custaram o mesmo preo e a diferena de preo entre cada cala e a camisa foi de R$26,00? 
  Nesse caso, vamos representar por *x* o preo de cada cala, por *y* o preo da camisa e escrever as seguintes equaes. 

<R+>
preo das duas calas mais o preo da camisa: 2x+y=220
 diferena entre o preo de uma cala e o preo de uma camisa: x-y=26
<R->

  Assim, temos o seguinte sistema de equaes: 
 
2x+y=220 e
 x-y=26  

  Veja como podemos resolv-lo utilizando o mtodo da substituio. 

<R+>
 Inicialmente, escolhemos uma das equaes e isolamos uma das incgnitas. Nesse caso, isolamos *x* no primeiro membro da equao.
<R->

x-y=26
 x-y+y=26+y
 x=26+y
<P>
<R+>
 Depois, substitumos *x* por 26+y na segunda equao, e resolvemos a equao obtida. 
O valor de *y* obtido representa o preo da camisa. 

2x+y=220
 226+y+y=220
 52+2y+y=220
 52+3y=220
 52+3y-52=220-52
 3y=168
 3y3=1683
 y=56

<178>
 Para obter o valor de *x*, que representa o preo de uma cala, basta substituir *y* por 56 na equao x=26+y. O preo de uma cala foi R$82,00 e o preo de uma camisa, R$56,00.
<R->
<P>
Atividades 

<R+>
21. Resolva em seu caderno os seguintes sistemas de equaes pelo mtodo da substituio. 
<R->
 a) x=y e 5x+14y=16
 b) 2y=4x e x+2y=15
 c) x-y=18 e x+y=4
 d) 3x+y=-12 e 4x+y=20
 e) 10x-8y=14 e x+y=4
 f) 3x+y=65 e x-2y=10

<R+>
22. Relacione cada problema ao sistema de equaes que permite resolv-lo. Para isso, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
<R+>
 A: Solange: R$582,00; Gabriel: R$194,00. Solange e Gabriel tm juntos R$776,00. A quantia que Solange possui  igual ao triplo da quantia de Gabriel. Quantos reais cada um possui? 
 B: O dobro da quantidade de selos que Marcos possui somado ao quntuplo da quantidade de selos que Renata possui  igual a 125 selos. A diferena entre a quantidade de selos que eles possuem  igual a 10 selos. Quantos selos cada um possui, sabendo que Marcos possui mais selos que Renata? 
 C: Em um estacionamento h carros e motos, num total de 250 veculos. Quantos carros e quantas motos h nesse estacionamento, sabendo que o dobro da quantidade de carros  igual ao triplo da quantidade de motos? 
 D: A soma entre a idade de Carlos e o dobro da idade de Lcia  125 anos. Qual  a idade de Carlos e de Lcia, sabendo que Lcia tem o dobro da idade de Carlos? 
<R->

I) 2x+5y=125 e x-y=10
 II) x+y=250 e 2x=3y
 III) x+y=776 e x=3y
 IV) x+2y=125 e y=2x
<P> 
<R+>
Agora, resolva os sistemas e determine a resposta de cada problema.
<R->

<R+>
23. Marcos e Otvio so pintores. Eles receberam R$980,00 por um trabalho que realizaram. Sabendo que Marcos recebeu R$228,00 a menos que Otvio, calcule quantos reais cada um recebeu.
<R->

<R+>
Ateno: Chame de *x* a quantia em reais que Marcos recebeu e de *y* a quantia em reais que Otvio recebeu. 
<R->

<R+>
24. Em certa escola estudam meninos e meninas, num total de 2.500 alunos. Quantos meninos e quantas meninas estudam nessa escola, sabendo que o triplo da quantidade de meninos  igual ao dobro da quantidade de meninas? 
<R->

Desafio
<R+>
 25. A diferena entre as idades de Marcela e Augusto  de 28 anos. H 6 anos, a idade de Marcela era o triplo da idade de Augusto. Qual  a idade atual de cada um? 
 26. Em uma eleio para prefeito em certo municpio, o dobro de votos que a candidata Luciana obteve, somado  quantidade de votos que o candidato Cristiano obteve, foi de 23.276 votos. Calcule quantos votos cada candidato obteve, sabendo que a diferena entre o triplo de votos obtidos por Luciana e o dobro dos votos obtidos por Cristiano  igual a 16.266 votos.
 27. Numa sesso de cinema foram arrecadados R$2.720,00 com a venda de entradas. Cada uma custa R$16,00 e estudantes pagam meia-entrada. Com a venda de entradas inteiras, arrecadou-se R$800,00 a mais que o triplo do valor arrecadado com a venda de meias-entradas. Quantas pessoas pagaram para assistir essa sesso? 

 28. No ltimo fim de semana, Adriana fez uma viagem em seu carro. Ela partiu de Londrina (PR) com destino a Maring (PR). Porm, no caminho, Adriana resolveu passar por Astorga (PR) antes de ir a Maring, o que aumentou o trajeto em 60 km. Sabendo que Adriana percorreu um total de 162 km, responda s questes. 
<R->

<R+>
Ateno: Chame de *a* a distncia entre Londrina e Astorga e de *b* a distncia entre Astorga e Maring.
<R->

<R+>
 a) Qual  a distncia entre Londrina e Maring? 
 b) A distncia entre Londrina e Astorga  30 km menor que a distncia entre Astorga e Maring. Calcule a distncia entre:
 Londrina e Astorga
 Astorga e Maring 
<R->
<P>
<R+>
29. Em uma sorveteria foram fabricados picols de leite e picols de frutas, num total de 180. Ao fim de um dia foram vendidos metade dos picols de leite e um tero dos picols de frutas, restando 100 na sorve-
  teria. Quantos picols de leite foram fabricados?
<R->

<R+>
30. (UFPB-PB) Um pai  27 anos mais velho que o filho. Sabendo que a idade do filho corresponde a #,d da idade do pai, qual dos itens a seguir corresponde  idade do filho? 
<R->
 a) 8 anos
 b) 9 anos 
 c) 10 anos  
 d) 11 anos 
 e) 12 anos 

<R+>
31. (Unifor-CE) Hoje, a diferena entre as idades, em anos, de Andra e Cludia, nessa ordem,  de 2 anos. Daqui a 3 anos, a soma da idade da primeira com o dobro da idade da segunda ser 86 anos. Qual dos itens a seguir apresenta a informao verdadeira sobre a idade de Andra ou Cludia h 3 anos?  
<R->
 a) Andra tinha 28 anos. 
 b) Cludia tinha 27 anos.
 c) Andra tinha 26 anos. 
 d) Cludia tinha 25 anos.
 e) Andra tinha 24 anos. 

<R+>
32. (UNESP-SP) Dois produtos qumicos, P e Q, so usados em um laboratrio. Cada 
  1 g (grama) do produto P custa R$0,03 e cada 1 g do produto Q custa R$0,05. Se 100 g de uma mistura dos dois produtos custam R$3,60, qual dos itens a seguir apresenta a quantidade do produto P contida nessa mistura? 
<R->
 a) 70 g
 b) 65 g
 c) 60 g
<P>
 d) 50 g
 e) 30 g

<180>
 Mtodo da adio 

  Em uma sala de aula h um total de 36 alunos entre meninos e meninas. A diferena entre a quantidade de meninos e a quantidade de meninas  de 6 alunos. 
Quantos meninos e quantas meninas h nessa sala, sabendo que h mais meninos do que meninas? 
  Para resolver esse problema, vamos chamar de *x* a quantidade de meninos, de *y* a quantidade de meninas e escrever as seguintes equaes. 

<R+>
quantidade de meninos mais a quantidade de meninas: x+y=36 
 diferena entre a quantidade de meninos e a quantidade de meninas: x-y=6 
<R->
<P>
  Assim, temos o seguinte sistema de equaes: 

 x+y=36 e xy=6 

  Veja como podemos resolv-lo utilizando o mtodo da adio. 
<R+>
 Note que as duas equaes apresentam termos opostos (y na 1 e -y na 2). Desse modo,  possvel obter a soluo do sistema adicionando as duas equaes. 
<R->

x+y=36
 x-y=6
 2x+0y=42
 2x=42

  Cancelamos -y com +y e assim eliminamos a incgnita *y*.
<R+>
 Depois, resolvemos a equao 2x=42 e obtemos o valor de *x*, que representa a quantidade de meninos da sala de aula.
<P>
2x=42
 2x2=422
 x=21

 Para obter o valor de *y*, que representa a quantidade de meninas, basta substituir *x* por 21 em uma das equaes do sistema. 

x+y=36
 21+y=36
 21+y-21=36-21
 y=15

 Nessa sala de aula h 21 meninos e 15 meninas. 
<R->

<181>
  Agora, veja como podemos resolver outro sistema de equaes pelo mtodo da adio. 

x+4y=9 e 3x+2y=7

  Note que as duas equaes desse sistema no possuem termos opostos. Assim, no podemos eliminar nenhuma das incgnitas. 
  Nesse caso, precisamos efetuar alguns clculos de forma que o sistema fique com termos opostos. 
<R+>
 Note que a primeira equao possui o termo *x* e a segunda possui o termo 3x. Desse modo, basta multiplicar todos os termos da primeira equao por -3 
  para obtermos uma equao equivalente com termos opostos. 

 x+4y=9'-3 :o -3x-12y=-27 e 3x+2y=7

 Depois, basta adicionar as duas equaes, pois elas apresentam termos opostos. 
<R->

<F->
-3x-12y=-27
 3x+2y=7
:::::::::::::::
 0x-10y=-20
-10y=-20
<F+>

<R+>
  Agora, resolvemos a equao e obtemos o valor *y*. 
<R->

<F->
-10y=-20
-10y-10=-20-10
 y=2
<F+>
 
<R+>
 Para obter o valor de *x*, substitumos *y* por 2 em uma das equaes do sistema.
<R->

x+4y=9
 x+4.2=9
 x+8=9
 x+8-8=9-8
 x=1

  Assim, x=1 e y=2. 
  Observe tambm a resoluo do sistema de equaes a seguir. 
  Note que nesse sistema as equaes tambm no possuem termos opostos. Nesse caso, podemos resolv-lo da seguinte forma: 

3x+4y=1 e 2x-5y=16

<R+>
 Primeiramente, multiplicamos todos os termos da primeira equao por 2 e todos os termos da segunda equao por -3. Desse modo, obtemos equaes equivalentes s equaes do sistema e que possuem termos opostos. 

3x+4y=1'2 :o 6x+8y=2
 2x-5y=16'-3 :o -6x+15y=-48

 Agora, utilizamos o mtodo da adio e encontramos a soluo do sistema. 
<R->

<R+>
<F->
 6x+8y=2 
-6x+15y=-48
:::::::::::::::
 0x+23y=-46
 23y23=-4623
 y=-2

Substitumos *y* por -2 em uma das equaes e encontramos o valor de *x*.
Assim, x=3 e y=-2

3x+4y=1
3x+4-2=1
3x-8=1
3x-8+8=1+8
3x=9
3x3=93
x=3
<F+>
<R->

<182>
Atividades 

<R+>
33. Resolva no caderno os seguintes sistemas de equaes pelo mtodo da adio. 
<R->
 a) x+5y=25 e -x+3y=-9
 b) 5x-6y=20 e -5x+14y=-20 
 c) -4x+3y=5 e 2x-3y=-7
 d) x+3y=-7 e x-2y=-2
 e) 2x+8y=7 e x-8y=14
 f) 3x-4y=32 e x+4y=4

<R+>
34. A soma entre dois nmeros  12 e a diferena entre esses nmeros  igual ao nico nmero primo que  par. Quais so esses nmeros? 
 35. A soma entre as idades de Jlia e Andr  igual a 34 anos. A diferena entre as idades deles  8 anos. 
 Qual  a idade de Jlia e a de Andr, sabendo que Andr  mais novo que Jlia?
 36. Participaram de uma excurso *x* homens e *y* mulheres. 
 A soma entre a quantidade de homens e mulheres  igual a 130 pessoas e a diferena entre a quantidade 
de homens e mulheres  de 12 pessoas. Quantos homens e quantas mulheres participaram dessa excurso? 
 37. Veja o que Rafael e Fbio esto dizendo. 
<R->

<R+>
_`[{rafael diz: "O dobro da minha massa adicionado  massa de Fbio  igual a 222 kg"; Fbio diz: "A diferena entre o dobro da massa de Rafael e a minha massa  igual a 78 kg."_`]
<R->

Calcule a massa de cada um deles.
<R+>
 38. No tringulo a seguir, encontre as medidas dos ngulos *x* e *y*, sabendo que a dife-
<P>
  rena entre as medidas desses ngulos  15}.
<R->

<R+>
Lembre-se: A soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo  180}. 
<R->

<F->
       ^
         ^
     105} ^ 
             ^
               ^
                 ^
  :x          :y ^
---------------------u
<F+>

<R+>
39. Resolva os seguintes sistemas pelo mtodo da adio.  
 a) 5x+2y=-11 e x+y=-1
 b) 3x+5y=47 e x+10y=74
 c) 5x+7y=22 e 10x+y=96
 d) 2x+6y=1 e 6x-2y=13
 e) 2x-8y=24 e 3x-5y=22
 f) 6x+3y=-15 e 2x+4y=16
 g) 5x-3y=-6 e 3x+5y=44
 h) 3x+7y=5 e 7x+3y=1

40. (Unifor-CE) Em uma barraca na praia, um grupo de turistas pagou R$23,40 pelo consumo de 6 cocos 
verdes e 12 pastis, enquanto outro grupo pagou R$21,30 por 7 cocos verdes e 9 pastis. Qual dos 
itens a seguir apresenta o preo que custam juntos 1 coco verde e 1 pastel nessa barraca? 
<R->
 a) R$2,10
 b) R$2,30 
 c) R$2,50 
 d) R$2,70 
 e) R$2,90 

<R+>
41. (OBMEP) Juliana tem oito cartes de papel retangulares iguais. Se ela enfileirar todos os cartes juntando lados de mesma medida, ela pode obter um retngulo de permetro 236 cm ou um retngulo de permetro 376 cm. Qual  a rea de cada carto? 
<R->
 a) 66 cm2
 b) 132 cm2
 c) 198 cm2
 d) 264 cm2
 e) 330 cm2

<183>
Inequaes 

  Vamos agora estudar outro tipo de sentena matemtica, as chamadas inequaes. 
  No retngulo e no quadrado a seguir esto indicadas suas dimenses. Sabendo que a rea do retngulo  maior que a rea do quadrado, qual  a sentena que representa essa situao? 

<F->
     !::::::::::::::::::::
     l                    _
2 m l                    _
     l                    _
     h::::::::::::::::::::j
              x
<P>
        4 m
     pccccccc
     l       _
4 m l       _
     l       _
     l       _
     v-------#
<F+>

  Para responder a essa pergunta, vamos determinar, inicialmente, a rea das figuras. 

 rea do retngulo 2.x=2x 
 rea do quadrado 4.4=16 

  Como a rea do retngulo  maior que a rea do quadrado, podemos escrever a seguinte sentena: 

2x>16 l-se: 2x  maior 
  que 16 

  Essa sentena  chamada inequao. 
<P>
Saiba que... 

  Inequao  uma desigualdade matemtica expressa pelos smbolos *>*, *<*, *o=* e *=*, em que h pelo menos uma letra que representa um nmero desconhecido. Cada letra que representa um nmero desconhecido  chamada incgnita. 
  Veja alguns exemplos de inequaes. 

<R+>
4x+1>8; -a+5>9b; 2x-3<0 (l-se: 2x menos 3  menor que 0);
 a+14<2a; 2x+9o=18; x-2o=12 (l-se: *x* menos 2  maior ou igual a 12);
 5x-4=2y; x-y<-2; -3a=15 (l-se: menos 3a  menor ou igual a 15).
<R->

Atividades
 
<R+>
42. Copie em seu caderno apenas as inequaes. 
<R->

x-3=2x
 2x+2=5
 -3x+5>12
 7x2+7x+3
 x+2=2x-8
 5x+2<2x-1
 4x+2>3
 -x-3<9
 a2b2+4a2
 x2+2o=13
 3x+7=21
 2x+y3

<184>
<R+>
43. Relacione cada frase com a inequao que a representa. Para isso, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes. 
 a) O dobro de um nmero mais 5  maior que 13. 
 b) O triplo de um nmero  menor ou igual a 5. 
 c) A metade de um nmero mais seu triplo  menor que 13. 
 d) A quarta parte de um nmero menos 4  maior que o dobro desse nmero. 
<P>
 I: 3x=5
 II: x2+3x13
 III: x4-4o2x
 IV: 2x+5o13

44. No caderno, escreva uma inequao para representar cada frase a seguir. 
 a) Um nmero menos 6  maior que 15. 
 b) O dobro de um nmero menos #,d  menor ou igual a 6. 
 c) Metade de um nmero mais 10  maior ou igual a 23. 
 d) O triplo de um nmero menos 4  menor que esse nmero mais 30. 

45. Escreva uma inequao para representar cada situao a seguir. 
 a) O retngulo a seguir deve ter uma rea maior ou igual a 20 m2.
<P>
<F->
     !::::::::::::::::::::
     l                    _
2 m l                    _
     l                    _
     h::::::::::::::::::::j
              x
<F+>

<R+>
 b) O tringulo a seguir deve ter um permetro menor que 13 m.
<R->

<F->
    
    _^
    _  ^ 4z
2y _    ^
    _      ^
    _--------
       3x
<F+>

<R+>
46. Escreva, em seu caderno, uma frase para representar cada inequao a seguir.
<R->
 2x+10>27
 3x-4=50
 x-2>10
 8x+7<25
<P>
47. Leia o seguinte cartaz. 
 
_`[{cartaz adaptado_`]

"Concessionria CarroZero 

  Compre seu carro 0 km no valor de at R$30.000,00 com uma entrada de 
R$1.500,00 e o restante em 12 vezes sem juros"

<R+>
Escreva uma inequao para representar o total pago na compra de um carro nesta concessionria.
 48. Uma lanchonete vende a lata de refrigerante 
por R$2,50 e o salgado por R$2,00. Ao final 
de um ms, o dono da lanchonete teve um 
faturamento superior a R$1.000,00 com a 
venda desses dois produtos. Se a quantidade 
de refrigerantes vendidos neste ms foi *r* e a 
quantidade de salgados *s*, represente essa situao 
por meio de uma inequao.
<R->

<R+>
 Desafio
 49. Lucas foi a uma papelaria comprar um caderno e ficou em dvida entre as trs opes a seguir.

_`[{figuras adaptadas_`]

I) Caderno AVENTURA
 II) Caderno SCRITO
 III) Caderno Estude Bem

 O caderno II) custa R$19,99 e  mais barato que o caderno I). J o caderno III) custa R$22,25 e  mais caro que o caderno I). 
 a) Quantos reais, no mnimo, o caderno I pode custar? E no mximo? 
 b) Escreva, em seu caderno, trs preos possveis para o caderno I). 
<R->

<185>
<P>
Resolvendo inequaes do 1 grau 
  com uma incgnita 

  Assim como resolvemos equaes do 1 grau, podemos resolver inequaes do 1 grau. 
  Veja, por exemplo, como resolver a inequao 5x-4>2x+11.

<F->
<R+>
5x-4>2x+11
Para isolar a incgnita *x*, adicionamos 4 unidades aos dois membros da inequao.
5x-4+4>2x+11+4
5x>2x+15
Depois, subtramos 2x nos dois membros.
5x-2x>2x+15-2x
3x>15
Em seguida, dividimos por 3 os dois membros da inequao.
3x3>153
<R->
<F+>
<P>
  Para verificar se a soluo obtida est correta, atribumos a *x* um valor maior, outro menor e outro igual a 5. 

Para x=6
 5x-4>2x+11
 5.6-4>2.6+11
 30-4>12+11
 26>23
 Desigualdade verdadeira. 

Para x=4
 5x-4>2x+11
 5.4-4>2.4+11
 20-4>8+11
 16>19
 Desigualdade falsa.
 
Para x=5
 5x-4>2x+11
 5.5-4>2.5+11
 25-4>10+11
 21>21
 Desigualdade falsa.
<P>
  Note que a desigualdade  verdadeira para x>5. 
  Portanto, a inequao 5x-4>2x+11  verdadeira para x>5. 

Saiba que... 

   Em uma inequao, podemos adicionar ou subtrair o mesmo nmero nos dois membros 
que a desigualdade no se altera. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos 
os dois membros por um nmero positivo. Quando resolvemos uma inequao, obtemos 
sua soluo. 

  Quando multiplicamos ou dividimos cada membro da desigualdade por um nmero negativo, precisamos inverter a desigualdade. 

3>1
 3.-1<-1
 -3<-1
<P>
  Nesse caso, se no invertermos a desigualdade, ela ficar falsa, seja, -3>-1.

-4<6
 -4-2>6-2
 2>-3

  Nesse caso, se no invertermos a desigualdade, ela tambm ficar falsa, ou seja, 2<-3. 

<186>
  O mesmo acontece quando resolvemos uma inequao. Por exemplo, vamos resolver as inequaes 8-xo=17 e 5-3x<23. 

8-xo=17
 8-x-8o=17-8
 -xo=9
 x=-9

5-3x<23
 5-3x-5<23-5
 -3x<18
<P>
 -3x-3>18-3
 x>-6

<R+>
Ateno: Nos dois casos, multiplicamos ou dividimos os dois membros da inequao para isolar a incgnita *x*. 
<R->

Saiba que... 

  Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma inequao por um nmero negativo, devemos inverter a desigualdade. Caso contrrio, a desigualdade fica falsa. 
  Assim, se x>y e *z*  um nmero negativo, temos: 

x>y
 x.z<y.z

x>y
 xz<yz

  Substituindo as letras *x*, *y* e *z* por nmeros inteiros, temos: 

x=5; y=2; z=-1
 5>2
 5.-1<2.-1
 -5<-2

x=6; y=-9; z=-3
 6>-9
 6-3<-9-3
 -2<3

x=3; y=-1; z=-5
 3.-5<-1.-5
 -15<5

x=-4; y=-16; z=-4
 -4>-16
 -4-4<-16-4
 1<4

Atividades 

<R+>
50. Resolva no caderno as inequaes a seguir. 
<R->
 a) x-5>9 
 b) 2x-1<3
 c) x-7>-2x+2 
 d) 4+23x=-3x+18 
 e) -x-2>7 
 f) 2x=3x-1
 g) x3-6>4+2x 
 h) 1,3x-8o=3,3x+9

<187> 
<R+>
51. Entre os nmeros a seguir, quais so solues da inequao 2x+3o=11?
 7; 3; 0; 4; 2; 23; 9; 5; 1; 10 
<R->
 
<R+>
52. Para cada item, escreva os nmeros naturais que satisfazem a inequao. 
<R->
 a) x+5=9
 b) 12-x>4
 c) 2x+3<19
 d) x+11=26-2x
 e) x2+9>x+7
 f) 12o=x+2x
 
<R+>
53. (Fuvest-SP) 
 a) Calcule *x* tal que #,c-x2=#,d.
 b) Resolva a inequao #,c-x2<#,d. 
<R->
<P>
<R+>
54. Qual deve ser o valor de *x* para que a rea do tringulo a seguir seja maior que 48 m2?  
<R->
 
<F->
      .
      l   
      l 
      l  
12 m l    
      l              
      l              
      r::                     
      l_-_        
      h::j:::::h
         3x
<F+>

<R+>
55. O permetro do tringulo a seguir deve ser menor ou igual ao permetro do retngulo. 
<R->
<F->

       
        
 3x      3x
          
           
  ----------u
      10 m

    !:::::::::::
    l           _
    l           _
2x l           _
    l           _
    l           _
    h:::::::::::j
        8 m
<F+>

<R+>
a) Escreva a inequao que representa a situao anterior. 
 b) Qual  o maior valor inteiro que *x* pode assumir?
 c) De acordo com a resposta do item b), determine o permetro mximo do tringulo e do retngulo.  
 d) O valor de *x* pode ser igual a 5 m? Explique por qu.
<R->

<R+>
56. A inequao x-63o=100 representa a situao a seguir. 
 Em um pacote h certa quantidade de balas. Se forem retiradas *y* balas desse pacote, a quantidade de balas restantes ainda ser maior ou igual a *wr*. 

 Reescreva essa situao em seu caderno substituindo *y* e *wr* pelos nmeros correspondentes da inequao. Depois, resolva a inequao e determine quantas balas, no mnimo, h nesse pacote.
 57. Em uma escola, para que um aluno seja aprovado, a mdia das notas nos quatro bimestres, em cada disciplina, deve ser maior ou igual a 65. 
 As notas de Matemtica que Carlos obteve nos trs primeiros bimestres esto indicadas no quadro a seguir.
<R->

 !:::::::::::::::::::
 l 1 bimestre _ 70 _
 r::::::::::::::w:::::w
 l 2 bimestre _ 62 _
 r::::::::::::::w:::::w
 l 3 bimestre _ 54 _
 r::::::::::::::w:::::w
 l 4 bimestre _ x   _
 h::::::::::::::j:::::j
<P>
<R+>
Qual  a menor nota que Carlos pode ter em Matemtica no 4 bimestre para que seja aprovado?
<R->
<R+>
 58. Marcos vende colares na praia. Sbado ele vendeu *x* colares e domingo, 3x colares. Se cada colar custa R$5,00 e o valor arrecadado com as vendas nestes dois dias foi superior a R$320,00, quais os possveis valores de *x*? 
<R->
<R+>
 59. Patrcia distribuiu mais de 81 mas em duas cestas, A e B. Na cesta B ela colocou o dobro de mas da cesta A e ainda sobraram 9 que no couberam em nenhuma das cestas. Qual o nmero mnimo de mas colocadas na cesta A? E na cesta B? 
<R->

<188>
<R+>
60. No cartaz a seguir, esto representadas as tarifas que uma empresa de locao de veculos cobra pelo aluguel de um carro popular e de um utilitrio. 
<P>
_`[{cartaz adaptado_`]

"Viaje Bem. Locao de 
  veculos.

I) Promoo para carro popular: R$29,90 a diria mais R$0,46 por quilmetro rodado.
 II) Promoo para carro utilitrio: R$71,00 a diria mais R$0,88 por quilmetro rodado."

 Resolva, no caderno, s seguintes questes: 
 a) Mrcia deseja locar, por um dia, um carro popular e gastar, no mximo, R$170,00. 
Escreva uma inequao que represente essa situao.
 b) Resolva a inequao que voc escreveu no item a) e determine a maior quantidade de quilmetros inteiros que Mrcia pode percorrer.
 c) Se na locao do carro popular, Mrcia pudesse gastar R$215,00, qual seria a maior 
<P>
  quantidade de quilmetros inteiros que ela poderia percorrer?  
 d) Fernando deseja locar, por dois dias, um veculo utilitrio e gastar, no mximo, R$365,00.
<R->

<R+>
Ateno: Para escrever a inequao, represente por *x* a quantidade de quilmetros percorridos.
<R->

<R+>
61. Muitas provas de vestibular so compostas 
por uma parte objetiva com questes de mlti- pla 
escolha e uma redao. Em certo vestibular 
o candidato tem no mximo 4 h para 
fazer a prova, cuja parte objetiva contm 
60 questes. Sabendo que um candidato fez 
primeiro a redao e demorou mais de 1 h para 
termin-la, quantos minutos, em mdia, ele 
tem para fazer cada questo? 
<R->
<R+>
 62. Duas lojas concorrentes vendem produtos 
que custam no mximo R$10,00. A loja A fornece 
desconto de 10% para compras acima de 
12 produtos e a loja B fornece desconto de 8% 
para compras acima de 10 produtos. Qual a 
maior quantidade de produtos comprados por 
um cliente que gastou no mximo R$118,00 
comprando os produtos de maior preo: 
<R->
  da loja A?
  da loja B?
<R+>
 Considerando que os mesmos produtos so oferecidos com preos iguais em ambas as lojas, em qual delas  mais vantajoso compr-los? 
<R->

Desafio
<R+>
 63. Uma empresa de telefonia oferece diversos planos para tarifar as ligaes de seus clientes. Dois deles so: 
<P>
<F->
             pccccccccccpccccccccc
             l plano A l plano B
             r::::::::::r:::::::::
mensalidade  lR$0,00  lR$41,24
:::::::::::::r::::::::::r:::::::::
min. de lig. lR$0,27  lR$0,11
<F+>

 a) Se uma pessoa consome, em mdia, 250 min de ligaes em um ms, por qual plano ela deve optar para pagar menos? 
E uma pessoa que realiza 350 min de ligaes? 
 b) Para quantos minutos de ligaes mensais o plano A torna-se menos vantajoso em relao ao plano B?  
<R->

<189>
Complementando... 

<R+>
64. As balanas a seguir esto em equilbrio. Nelas, caixas de mesma cor tm a mesma massa.
 Qual  a massa, em gramas, de uma caixa vermelha? E a massa de uma caixa azul? 
<P>
_`[{balanas de dois pratos em equilbrio adaptadas_`]

 1 balana: Prato da esquerda: uma caixa vermelha, um peso de 2 kg e um peso de 500 g; prato da direita: um peso de 2 kg, trs pesos de 500 g cada um e um peso de 
  250 g.
 2 balana: Prato da esquerda: quatro caixas vermelhas; prato da direita: duas caixas azuis.
<R->

<R+>
 65. Qual  o nmero cujo qudruplo adicionado a 46 resulta 118?  
 66. Lauro comprou 4 caixinhas de leite a R$2,09 
cada uma e 5 latas de refrigerante. Pagou a compra 
com R$20,00 e recebeu R$3,64 de troco. 
 Quanto custou cada lata de refrigerante?
<P>
67. Resolva em seu caderno os itens a seguir. 
 a) Carlos nasceu 4 anos antes de seu irmo. 
Em certo momento ele tinha o triplo da idade 
desse irmo. Qual era a idade do irmo nesse 
momento?  
 b) Hoje Cssia tem 25 anos e sua me 42 anos. Qual era a idade de Cssia quando ela tinha a metade da idade de sua me?
<R->

<R+>
68. Para a festa de aniversrio de Ana, sua me preparou 
14 salgadinhos, em mdia, para cada convidado. 
Como 4 convidados no foram  festa, a 
mdia de salgadinhos para cada pessoa passou 
a ser 15.
 
69. Associe a informao de cada quadro a uma equao. Para isso, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes.
<R->
<R+>
 A: A diviso de x+15 por *x*  igual a 72.
<P>
 B: A diviso de 3 por *x*  igual  diviso de 9 por 2x+4.
 C: A diviso de 8 por *x*  igual  diviso de 9 por 2x+4.

 I) 3x=92x+4
 II) 8x=42x-3
 III) x+15x=72
<R->
<R+>
 Agora, resolva as equaes e determine o valor de *x* em cada informao.
<R->

<R+>
70. (Cefet-RN) Os lados de um tringulo tm por medidas nmeros inteiros consecutivos. Se o permetro desse tringulo  255 cm, as medidas de seus lados so: 
<R->
 a) 99 cm, 100 cm e 101 cm
 b) 84 cm, 85 cm e 86 cm 
 c) 75 cm, 76 cm e 77 cm 
 d) 66 cm, 67 cm e 68 cm 

<R+>
71. Em uma marcenaria eram produzidas 2 estantes 
por dia. Essa produo aumentou para 3 estantes 
por dia aps a contratao de 3 funcionrios. 
Quantos passaram a ser os funcionrios 
dessa marcenaria aps as contrataes, sabendo 
que todos mantiveram o mesmo ritmo de trabalho? 
<R->
<190>
<R+>
 72. Em uma sala de aula estudam 34 alunos. O professor 
de Matemtica deseja dividir a turma em grupos formados por meninas ou meninos. 
Se ele dividir os meninos em grupos de 3 e as meninas em grupos de 4, sero ao todo 10 grupos. 
 Nessa sala de aula, quantos alunos so meninos? E quantos so meninas? 
<R->
<R+>
 73. Ao serem distribudas 40 balas entre certo nmero 
de crianas, cada criana recebe a mesma quantidade de balas se fossem distribudas 
50 balas entre esse nmero de crianas mais uma. Quantas balas cada criana recebe?
<R->
<P>
<R+>
 74. Leandro pagou R$119,00 na compra de uma 
cala e uma camiseta. Sabendo que a camiseta 
  custou R$25,00 a menos do que a cala, 
qual o preo da cala? 
<R->

<R+>
75. Para cada problema, escreva um sistema de 
equaes que permite resolv-lo. Em seguida, 
resolva o sistema que voc escreveu. 
 a) Pedro e Marcelo colecionam moedas. Juntos 
eles possuem 90 moedas. Se Pedro der 
a Marcelo 5 de suas moedas, ambos tero 
a mesma quantidade de moedas. Quantas 
moedas cada um deles possui? 
 b) Um pai  21 anos mais velho que seu filho. 
H trs anos, o pai tinha o dobro da idade 
que o filho tem hoje. Qual a idade de cada 
um deles?
<R->

<R+>
76. Um vendedor recebe, em mdia, R$14,00 por 
dia mais uma quantia por item vendido. Certo 
dia, ele vendeu 6 itens com preos iguais e recebeu 
  R$80,00. Quanto esse vendedor recebeu por item vendido? 
<R->

<R+>
77. Juliana e Slvia foram fazer compras em uma 
loja na qual estavam em promoo blusas e 
colares. Juliana comprou 2 blusas e 3 colares, 
pagando ao todo R$56,30, enquanto Slvia 
gastou R$30,90 na compra de 1 blusa e 2 colares. 
 No dia seguinte voltaram a essa loja com mais 
uma amiga, mas no se lembravam do preo 
unitrio de cada blusa e cada colar. Sabiam 
apenas que todas as blusas tinham preos 
iguais, assim como todos os colares. 
 a) Quantos reais Juliana e Slvia pagaram em 
cada blusa? E quanto pagaram em cada colar?
 b) No dia em que voltaram  loja com a amiga, 
o preo de cada colar e de cada blusa havia 
aumentado 10% e 15%, respectivamente. 
Qual era, nesse dia, o preo de cada um desses 
produtos? 
<R->

<R+>
 78. As figuras a seguir representam um hexgono regular e um retngulo. 

_`[{figuras adaptadas_`]

Hexgono regular: 4x de lado.
 Retngulo: 10x de comprimento e 18 de largura.

 a) Escreva uma inequao em que o permetro do hexgono seja menor que o do retngulo. 
 b) Resolva a inequao que voc escreveu no item a). 
 c) Determine os valores inteiros que *x* pode assumir para satisfazer a inequao anterior.

79. (OBM) Samuel possui trs irmos a mais do 
que irms. O nmero de irmos de Samila, irm 
de Samuel,  igual ao dobro do nmero de suas 
irms. O nmero de filhos (homens e mulheres) 
que possui o pai de Samuel e Samila :  
<R->
 a) 10 
 b) 13 
 c) 16 
 d) 17 
 e) 20 

<R+>
80. (OBM) As seguradoras de automveis A e B cobram 
um valor anual (prmio) mais um valor 
que o usurio deve pagar em caso de acidente 
(franquia). Jean quer fazer um seguro para 
seu automvel e recebeu as seguintes propostas 
das seguradoras:

 Seguradora A: Prmio anual de R$1.500,00 e franquia de R$1.400,00 
 Seguradora B: Prmio anual de R$1.700,00 e franquia de R$700,00 

 Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele no deve 
<P>
  se acidentar com o carro por pelo menos N anos. 
<R->
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4  
 d) 5 
 e) 6 

<191> 
Algo a mais 

Problemas matemticos 

  H registros de problemas presentes em textos matemticos desde a Antiguidade. 
  Em diferentes momentos da histria apareceram livros com problemas matemticos em muitas civilizaes, como a grega, babilnica, egpcia e chinesa. Muitos desses problemas podem ser expressos por meio de equaes e apresentam solues algbricas. 
  A seguir so apresentados trs desses problemas. Leia-os e tente resolv-los. 
<P>
<R+>
1. Diofante viveu um sexto de sua vida como menino, e somando uma duodcima 
parte a isto viveu como jovem. Depois de uma stima parte, casou-se e aps cinco 
anos nasceu-lhe um filho. Infeliz criana, que o destino levou ao chegar  medida 
de metade da vida de seu pai. Por mais quatro anos consolou-se em seus estudos, 
antes de terminar sua vida. Quantos anos Diofante viveu?  
 2. Um quarto da largura mais o comprimento  igual a sete mos. Sabendo que o comprimento 
mais a largura so 10 mos, calcule o comprimento e a largura em mos 
e em dedos.  
 3. Um jumento e uma gua caminhavam juntos carregando cada um pesados sacos 
de trigo. Como a carga era muito pesada, a gua gemia sob o grande peso. 
<R->

<R+>
_`[{de que te queixas? -- disse o jumento. Se me desses um de 
teus sacos de trigo, minha carga seria o dobro da tua; e se eu te 
desse um dos meus, tua carga ficaria igual  minha_`]
<R->

<R+>
Sendo assim, digam-me, sbios matemticos, quantos sacos de trigo o jumento carregava e quantos a gua carregava? 
<R->

<192> 
Atividades de reviso 

1. Resolva as equaes. 
 a) 3x+7=34x 
 b) x-25=19-3x  
 c) 8-7x=14-10x  
 d) 6`(25-x`)+20=-15x+242  
 e) 3`(x+80`)+2x=-5`(x+4`)  

<R+>
2. Clia foi a certa loja e comprou uma cala e um 
par de sapatos por R$158,29. Sabendo que o 
par de sapatos custa R$8,29 a mais que a cala, 
calcule quantos reais Clia pagou em cada 
um dos produtos.  
 3. Roberto plantou 45 mudas de rvores em sua 
chcara. Foram mudas de laranjeira, jabuticabeira 
e pitangueira. Determine quantas mudas 
de cada tipo ele plantou, sabendo que: 
 as mudas de laranjeira correspondem ao triplo das de jabuticabeira; 
 foram 5 mudas a menos de pitangueira em relao s de jabuticabeira. 

4. Resolva as seguintes equaes. 
 a) ?x-2*6x=1x
 b) 11?x-4*+8=x?x-4*

 5. Ao subtrairmos 82 de certo nmero e dividirmos o resultado por esse nmero, obtemos 13. Que nmero  esse?
<R->

<R+>
 6. Escreva em seu caderno uma equao para cada item a seguir. 
 a) A soma entre dois nmeros  32. 
 b) A diferena entre dois nmeros  15.  
<P>
 c) O triplo de um nmero somado ao dobro de outro nmero  23.  
 d) A diferena entre o quntuplo de um nmero e o qudruplo do outro  13.  
<R->

<R+>
7. Determine os valores de *x* e *y* para cada sistema de equaes. 
<R->
 a) x+y=20 e 3x-y=4
 b) x+y=28 e x-y=68
 c) y=x+12 e 2x-y=3
 d) x=4y e 2x+y=90
 e) x-y=-4 e 5x-y=-2
 f) 2x+4y=15 e 6x+8y=13 

<R+>
8. A soma entre dois nmeros  24 e a diferena entre eles  2. Quais so esses nmeros?  
<R->

<R+>
9. Para cada item, escreva um sistema e responda s questes. 
 a) A soma entre o qudruplo de um nmero e o triplo de outro nmero  igual a 100. A diferena entre o dobro de um desses nmeros e o dobro do outro  
<P>
  igual a 8. Quais so esses nmeros?  
 b) A diferena entre o triplo de um nmero e o triplo de outro nmero  igual a 312. A soma do dobro de um desses nmeros com o dobro do outro  igual a 88. Quais so esses nmeros? 
<R->

<R+>
10. Gustavo e Elaine tinham juntos R$3.400,00. Depois que Gustavo gastou R$550,00, ele ainda ficou com o dobro da quantia de Elaine. Quantos reais cada um tinha antes de Gustavo gastar os R$550,00?
<R->
<R+>
 11. Para um espetculo de teatro, foram colocados  venda ingressos com dois preos diferentes. Esses ingressos, dependendo do preo, apresentavam cores diferentes: azul e branco. Observando duas pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis e 2 brancos e gastou R$140,00. A segunda comprou 2 ingressos azuis e 3 brancos e gastou R$180,00. Qual o preo de cada ingresso?  
<R->
<193>
<R+>
 12. Em um supermercado, Cleusa pagou R$70,59 na compra de 3 pacotes de arroz de 5 kg e 6 pacotes de feijo de 1 kg. Moacir, por sua vez, pagou R$29,42 em 1 pacote de arroz de 5 kg e 3 pacotes de feijo de 1 kg. Nesse supermercado, quantos reais ao todo custam 1 pacote de arroz de 5 kg e um pacote de feijo de 1 kg?
<R->

<R+>
_`[{duas figuras: pacote de 5 kg do arroz "Campestre" e pacote de 1 kg do feijo "da Roa"_`]
<R->

<R+>
 13. Juliana e Rodrigo foram a uma lanchonete. Chegando l, eles fizeram o seguinte pedido: 
<R->

<R+>
Juliana: 1 salgado e 1 suco de laranja -- R$3,50
 Rodrigo: 2 salgados e 1 suco de laranja -- R$4,50 
<R->

<R+>
De acordo com as informaes anteriores, determine o preo do salgado e do suco de laranja.
<R->
<R+>
 14. Carlos foi a uma loja comprar roupas. Ele comprou, entre calas e camisas, 9 peas e pagou R$570,50. 
 Sabendo que cada cala custou R$77,00 e que cada camisa custou R$52,50, quantas calas e quantas camisas Carlos comprou?  
<R->
<R+>
 15. Elton e Rafael colecionam cartes telefnicos. Juntos, eles possuem 153 cartes e a razo entre as quantidades que eles possuem  #?d. 
Sabendo que a maior parte dos cartes pertence a Elton, quantos cartes cada um possui?
<R->

<R+>
16. (ENEM) Uma companhia de seguros levantou 
dados sobre os carros de determinada cidade e 
constatou que so roubados, em mdia, 150 carros 
por ano. O nmero de carros roubados da marca X  o dobro do nmero de carros roubados 
da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
 O nmero esperado de carros roubados da marca Y : 
<R->
 a) 20 
 b) 30 
 c) 40
 d) 50 
 e) 60 

<R+>
Ateno: Para escrever uma das equaes do sistema, calcule 60% de 150.
<R->

<R+>
17. No caderno, escreva uma inequao que represente cada uma das informaes. 
 a) A quarta parte da idade de Mrcio  menor que a idade de Nadir menos dois anos.  
 b) A quantia que Renata possui mais R$15,00  maior que a de Fernanda menos #?g da quantia de Renata.  
 c) A metade da altura de Bianca menos 12 cm  menor que a soma das alturas de Bianca e Joo menos 70 cm2. 
<R->

<R+>
18. Qual deve ser a medida do comprimento do retngulo a seguir para que sua rea seja menor ou igual a 45 m2?  
<R->

<F->
     !::::::::::::::
     l              _
3 m l              _
     l              _
     h::::::::::::::j
           x
<F+>

<R+>
 Desafio
 19. A figura a seguir representa a planificao de um paraleleppedo. 
<P>
<F->
              !:::
              l   _
              l   _
              l   _
       10 m  l   _
     !::::::::r:::w::::::::::
     l        l   _        _  _
8 m l        l   _        _  _
     l        l   _        _  _
     h::::::::r:::w::::::::j::j
              l   _
              l   _
              l   _
              l   _
              h:::j
               x+1
<F+>

 Qual deve ser o valor de *x* para que a rea da planificao seja maior que 340 m2?
<R-> 

<194>
<R+>
20. Os polgonos a seguir so regulares. 
<R->
<P>
<F->
 !::::::
 l      _
 l      _
 l      _
 l      _
 h::::::j
   x+8

     
      
       
        
 --------u 
   16 cm

     ^^
   ^    ^
 ^        ^
           
          
   ------
    11 cm 
<P>
   cccccc
          
           
           
          
   ------
    2x-1
<F+>

<R+>
 De acordo com as indicaes nos polgonos, escreva uma inequao de forma simplificada para representar cada item a seguir. 
 a) O permetro do quadrado deve ser maior que o permetro do tringulo.  
 b) O permetro do quadrado deve ser menor que o permetro do pentgono. 
 c) O permetro do hexgono deve ser maior ou igual ao permetro do tringulo.  
 d) O permetro do hexgono deve ser menor ou igual ao permetro do pentgono.  
 e) O permetro do hexgono deve ser maior que o permetro do quadrado. 
<R->

<R+>
21. Para realizar a festa de aniversrio de seu filho, Helosa encomendou 300 coxinhas e certa quantidade de quibes. No transporte dos salgados, uma bandeja caiu e estragaram-se 30 coxinhas 
e 8 quibes. Mesmo assim, a quantidade de coxinhas que restou foi maior que a de quibes. 
 Qual das inequaes a seguir representa essa situao, sabendo que *y* indica a quantidade de quibes encomendada?  
<R->
 a) 300-8<y-30
 b) y-300>30+8
 c) y-8-30>300
 d) 300-30>y-8
 e) y-8<300+30

<R+>
22. Deseja-se construir um retngulo e um tringulo issceles com as seguintes caractersticas: 
 a largura do retngulo deve ser 6 cm menor que o comprimento; 
<P>
 um dos lados do tringulo deve ser 4 cm maior que cada um dos outros dois. 
<R->

<F->
  !::
  l  _
  l  _
x l  _
  l  _
  l  _
  l  _
  h::j
  x-6

      ^^
  y ^    ^ y
  ^        ^
 j::::::::::::h
      y+4
<F+>

<R+>
 a) Quais devem ser os valores inteiros das dimenses do retngulo para que o permetro seja menor ou igual a 24 cm? 
 b) E para o tringulo, quais devem ser os valores inteiros de suas dimenses para que seu pe-
<P>
  rmetro seja menor ou igual a 19 cm? 
<R->

<R+>
23. Em seu caderno, resolva as inequaes a seguir. 
<R->
 a) x+7o=13
 b) 5x>15
 c) 2x-3<15
 d) 6-2xo=x+9
 e) 2x3<7
 f) ?x+3*2=2=2x3

<R+>
24. (Unifor-CE) O maior nmero natural que satisfaz a sentena 34x-2-?x+1*
  2<-3x5 :
 a) 0
 b) 1
 c) 2
 d) 3
 e) 4 

25. Quantos nmeros naturais satisfazem a inequao x3-?3x-5*2>0? 
<R->
<R+>
 26. Em uma das etapas de um teste seletivo foi aplicada uma prova com 25 questes. Nessa prova, 
para cada questo respondida corretamente, o candidato ganha 4 pontos e, para cada questo 
no respondida, ou respondida incorretamente, o candidato perde 2 pontos. Para que o candidato 
seja aprovado, ele deve conseguir, no mnimo, 40 pontos. Qual deve ser o menor nmero de questes 
respondidas corretamente para que o candidato seja aprovado? 
<R->
 
<195>
Lendo textos 

<R+>
Equvoco de meio sculo nos avies 
<R->

  Uma das principais equaes usadas na construo de avies est errada. 
Lei da parede  o nome de uma equao usada desde a dcada de 30 para 
calcular a fora do vento nas asas dos avies. Mas est errada, e o erro pode ter 
provocado uma parte dos acidentes areos nos ltimos 60 anos. A concluso  de 
Alexandre Chorin, do departamento de Matemtica da Universidade da Califrnia. 
  A lei da parede prev que, bem perto da asa, a fora do ar diminui gradualmente. Mas a reduo no  to grande quanto indicam as contas. Ou seja, a fora 
do ar sobre a asa  maior do que o calculado, especialmente em alta velocidade. 
Chorin deduziu uma nova equao que descreve corretamente a variao da fora. 
Por sorte, os engenheiros nunca confiaram totalmente na velha regra, declarou 
ele  revista inglesa *New Scientist*. Por segurana, eles sempre acrescentaram um 
reforo extra s asas. Isso pode ter compensado em parte as deficincias da velha 
equao. 

<R+>
SUPERINTERESSANTE. So Paulo: Abril, ano 10, n.o 8, ago. 1996. p. 8. 
<R->
<P>
  O tnel de vento  utilizado na aeronutica com a "lei da parede" para realizar testes visando estudos aerodinmicos. O principal deles, o de 
impacto do vento ao avio, verifica estabilidade, desempenho e integridade das asas diante de rajadas de ventos.

_`[{foto_`]
 Legenda: Tnel de vento

<R+>
a) Voc acha importante a descoberta no erro da equao da "lei da parede"? Por qu? 
 b) Alm da aeronutica, em quais outras reas so utilizadas equaes na realizao de atividades? 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte

